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Construção de Intervalos de Confiança para Proporções

Para variáveis dicotômicas (ex: satisfeito/insatisfeito), o intervalo de confiança para a proporção populacional é construído usando a proporção amostral e a distribuição normal (quando a amostra é grande o suficiente).
Fórmula básica:

\[ \hat{p} \pm z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]

Exercício 1

Use as suas próprias palavras para responder às questões a seguir: (3 pts)

Um estimador é dito mais eficiente se?.
Como determinamos qual de dois estimadores utilizar através do erro quadrático médio?.
Quais são as propriedades da média amostral que fazem com que ele seja um bom estimador para a média populacional?.

Explicação:

Ele tiver a menor variância entre todos os estimadores não viesados do mesmo parâmetro. Ou seja, entre estimadores corretos em média, o mais eficiente é aquele que apresenta menor dispersão das estimativas, garantindo maior precisão.
Comparamos o erro quadrático médio de ambos, que combina variância e viés do estimador. O estimador com menor EQM é preferível, pois ele tende a produzir estimativas mais próximas do valor verdadeiro do parâmetro, considerando tanto a precisão quanto a exatidão.
Não viesada: a média amostral, em média, é igual à média populacional. Consistente: conforme o tamanho da amostra aumenta, a média amostral converge para a média verdadeira. Eficiente: entre estimadores não viesados, a média amostral tem a menor variância, oferecendo estimativas mais precisas.

Exercício 2

Um departamento de recursos humanos de uma empresa deseja estimar a

proporção de funcionários satisfeitos com o ambiente de trabalho. Eles entrevistaram uma amostra aleatória de 300 funcionários e registraram se cada um estava satisfeito ou insatisfeito com o ambiente de trabalho. Qual método estatístico pode ser utilizado para construir um intervalo de valores para a verdadeira proporção de funcionários satisfeitos na população?

Explicação:

O método Intervalo de Confiança é o método que fornece uma faixa de valores plausíveis para a proporção populacional, considerando a variabilidade amostral e o nível de confiança escolhido

Exercício 3

Descreva a diferença entre os métodos de estimação: Momentos e máxima

verossimilhança em termos dos cálculos e da intuição do método?.

Explicação:

O método dos momentos estima parâmetros igualando os momentos teóricos (como média e variância) aos momentos calculados da amostra. É simples e direto, usando estatísticas descritivas, mas pode ser menos eficiente, especialmente em amostras pequenas ou com alta variabilidade.

Já o método da máxima verossimilhança busca os parâmetros que maximizam a probabilidade de observar os dados, utilizando toda a informação do modelo probabilístico. Geralmente produz estimativas mais precisas e eficientes, embora o cálculo seja mais complexo, exigindo otimização.

Intuitivamente, o método dos momentos ajusta os parâmetros para que as características básicas da amostra coincidam com as da distribuição teórica, enquanto a máxima verossimilhança procura os parâmetros que tornam os dados observados os mais prováveis.

Em geral, para amostras grandes e baixa variabilidade, ambos os métodos produzem resultados semelhantes. Para amostras pequenas ou alta variabilidade, a máxima verossimilhança é preferível por sua maior eficiência e precisão.

Exercício 4

Qual o estimador de máxima verossimilhança e de momentos para a distribuição Poisson?.

Explicação:

O estimador de máxima verossimilhança (EMV) para o parâmetro λλ da distribuição de Poisson é a média amostral dos dados observados. Ou seja, o EMV de λλ é dado por:

λ^{EMV=Xˉ=1n∑i=1nXiλ}EMV=Xˉ=n1i=1∑nXi

Esse resultado decorre do fato de que a função de verossimilhança da Poisson, ao ser maximizada, leva à média amostral como melhor estimativa para λλ125.

De forma semelhante, o estimador pelo método dos momentos para λλ na distribuição de Poisson também é a média amostral, pois o primeiro momento teórico da Poisson é igual a λλ, e o método dos momentos consiste em igualar o momento amostral ao momento teórico para obter a estimativa12.

Portanto, para a distribuição de Poisson, ambos os métodos — máxima verossimilhança e momentos — fornecem o mesmo estimador: a média amostral.

Exercício 5

Qual a diferença entre uma estimativa pontual e uma estimativa intervalar?

Explicação:

A estimativa intervalar reconhece a incerteza inerente ao processo amostral, oferecendo uma margem de erro e um grau de confiança, o que torna a inferência mais realista e útil para a tomada de decisão, ao contrário da estimativa pontual que pode ser enganosa por ser apenas um valor isolado. Em resumo:Estimativa pontual = um único valor.

Estimativa intervalar = um intervalo com um nível de confiança que expressa a incerteza da estimativa. Essa distinção é fundamental para a inferência estatística e para comunicar resultados de forma clara e confiável.

Exercício 6

Resumo: Uma escola on-line de idiomas preparatória para o TOEFL afirma possuir uma excelente pontuação média dos seus alunos no exame. Em uma amostra aleatória de 50 alunos, a pontuação média foi de 560 pontos. Por estudos anteriores, sabe-se que o desvio-padrão é 25 pontos. Obtenha os intervalos de confiança com 90%, 95% e 99% de confiança e calcule a amplitude desses intervalos. Explique porque quanto maior a confiança, maior a amplitude do intervalo.

Dados fornecidos

n <- 50 # tamanho da amostra
media <- 560 # média amostral
desvio_padrao <- 25 # desvio padrão conhecido (populacional)
conf_niveis <- c(0.90, 0.95, 0.99) # níveis de confiança desejados

Função para calcular intervalo de confiança

calc_ic <- function(media, sigma, n, conf) {
alpha <- 1 - conf
z <- qnorm(1 - alpha/2) # valor crítico da normal padrão
erro <- z * (sigma / sqrt(n))
ic <- c(media - erro, media + erro)
amplitude <- ic[2] - ic[1]
return(list(intervalo = ic, amplitude = amplitude))
}

Cálculo dos intervalos de confiança e amplitudes

resultados <- lapply(conf_niveis, function(cl) {
ic <- calc_ic(media, desvio_padrao, n, cl)
cat(sprintf("Intervalo de Confianca %.0f%%: [%.2f , %.2f] - Amplitude: %.2f\n",
cl*100, ic$intervalo, ic$intervalo, ic$amplitude))
return(ic)
amplitude <- ic[2] - ic[1]

})

## Intervalo de Confianca 90%: [554.18 , 554.18] - Amplitude: 11.63
##  Intervalo de Confianca 90%: [565.82 , 565.82] - Amplitude: 11.63
## Intervalo de Confianca 95%: [553.07 , 553.07] - Amplitude: 13.86
##  Intervalo de Confianca 95%: [566.93 , 566.93] - Amplitude: 13.86
## Intervalo de Confianca 99%: [550.89 , 550.89] - Amplitude: 18.21
##  Intervalo de Confianca 99%: [569.11 , 569.11] - Amplitude: 18.21

Explicação:

Quanto maior o nível de confiança, maior é o valor crítico z, o que aumenta a margem de erro e, consequentemente, a amplitude do intervalo. Isso ocorre porque para termos mais certeza de que o intervalo contém o parâmetro, precisamos considerar uma faixa maior de valores possíveis.

#Função para calcular intervalo de confiança para média com desvio padrão conhecido (z)
calc_ic <- function(media, sigma, n, conf) {
alpha <- 1 - conf
z <- qnorm(1 - alpha/2) # valor crítico da normal padrão
erro <- z * (sigma / sqrt(n))
ic <- c(media - erro, media + erro)
amplitude <- ic - ic # cálculo correto da amplitude
return(list(intervalo = ic, amplitude = amplitude))
}

Calculando e exibindo os intervalos e amplitudes

resultados <- lapply(conf_niveis, function(cl) {
ic <- calc_ic(media, desvio_padrao, n, cl)
cat(sprintf("Intervalo de Confianca %.0f%%: [%.2f , %.2f] - Amplitude: %.2f\n",
cl*100, ic$intervalo, ic$intervalo, ic$amplitude))
return(ic)
})

## Intervalo de Confianca 90%: [554.18 , 554.18] - Amplitude: 0.00
##  Intervalo de Confianca 90%: [565.82 , 565.82] - Amplitude: 0.00
## Intervalo de Confianca 95%: [553.07 , 553.07] - Amplitude: 0.00
##  Intervalo de Confianca 95%: [566.93 , 566.93] - Amplitude: 0.00
## Intervalo de Confianca 99%: [550.89 , 550.89] - Amplitude: 0.00
##  Intervalo de Confianca 99%: [569.11 , 569.11] - Amplitude: 0.00

n <- 50
media <- 560
sigma <- 25
conf_niveis <- c(0.90, 0.95, 0.99)

for (conf in conf_niveis) {
  resultado <- calc_ic(media, sigma, n, conf)
  cat(sprintf("Intervalo de Confianca %.0f%%: [%.2f , %.2f] - Amplitude: %.2f\n",
              conf*100, resultado$intervalo[1], resultado$intervalo[2], resultado$amplitude))
}

## Intervalo de Confianca 90%: [554.18 , 565.82] - Amplitude: 0.00
##  Intervalo de Confianca 90%: [554.18 , 565.82] - Amplitude: 0.00
## Intervalo de Confianca 95%: [553.07 , 566.93] - Amplitude: 0.00
##  Intervalo de Confianca 95%: [553.07 , 566.93] - Amplitude: 0.00
## Intervalo de Confianca 99%: [550.89 , 569.11] - Amplitude: 0.00
##  Intervalo de Confianca 99%: [550.89 , 569.11] - Amplitude: 0.00

Exercicio 7

1 proporção populacional pp de dias violentos

A proporção populacional pp de dias violentos, ou seja, a fração dos dias em que o número de ocorrências policiais foi maior que 11.

Intervalo de confiança (fórmula) a ser utilizado

Como estamos estimando uma proporção, para amostras suficientemente grandes, o intervalo de confiança aproximado para pp com nível de confiança 1−α1−α é dado por:

p^±z1−α/2p(1−p^)np±z1−α/2np^(1−p)

onde:

p^p = proporção amostral de dias violentos.

z1−α/2z1−α/2 = valor crítico da distribuição normal padrão (exemplo: 1,96 para 95% de confiança)

nn = tamanho da amostra

Suposições necessárias para utilização do intervalo de confiança.

A amostra é aleatória e independente.

O tamanho da amostra é suficientemente grande para que a distribuição da proporção amostral possa ser aproximada por uma normal (regra prática: np^>5np>5 e n(1−p^)>5n(1−p)>5). Os dados são binários (dia violento ou não).

Cálculo do intervalo de confiança de 95% e interpretação

# Dados fornecidos
ocorrencias <- c(7,11,8,9,10,14,6,8,8,7,8,10,10,14,12,14,12,9,11,13,13,8,6,8,13,10,14,5,14,10)
n <- length(ocorrencias)

# Definindo dia violento: ocorrências > 11
dias_violentos <- sum(ocorrencias > 11)

# Proporção amostral
p_hat <- dias_violentos / n

# Nível de confiança
conf <- 0.95
alpha <- 1 - conf
z <- qnorm(1 - alpha/2)

# Erro padrão
erro_padrao <- sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / n)

# Intervalo de confiança
lim_inferior <- p_hat - z * erro_padrao
lim_superior <- p_hat + z * erro_padrao

cat(sprintf("Proporcao amostral de dias violentos: %.3f\n", p_hat))

## Proporcao amostral de dias violentos: 0.333

cat(sprintf("Intervalo de Confianca 95%% para a proporcao: [%.3f, %.3f]\n", lim_inferior, lim_superior))

## Intervalo de Confianca 95% para a proporcao: [0.165, 0.502]

Interpretação:

Com 95% de confiança, o verdadeiro valor da proporção de dias violentos no bairro está entre os limites calculados. Isso significa que, se repetíssemos esse processo muitas vezes, aproximadamente 95% dos intervalos construídos conteriam a verdadeira proporção populacional.

Exercicio 7

2 Problema: Estimativa do comportamento médio dos scores de crédito a. Parâmetro que estamos estimando

A média populacional do score de crédito, denotada por μμ.

b.Intervalo de confiança (fórmula) a ser utilizado

Como o desvio padrão populacional é desconhecido e a amostra é relativamente pequena, usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição t de Student:

xˉ±tn−1,1−α/2×snxˉ±tn−1,1−α/2×ns

onde:

xˉxˉ é a média amostral

ss é o desvio padrão amostral

nn é o tamanho da amostra

tn−1,1−α/2tn−1,1−α/2 é o valor crítico da distribuição t com n−1n−1 graus de liberdade

c.Suposições necessárias para utilização do intervalo de confiança

A amostra é aleatória e independente.

A variável score de crédito segue uma distribuição aproximadamente normal (conforme informado).

O desvio padrão populacional é desconhecido, portanto usamos o desvio padrão amostral.

Cálculo do intervalo de confiança de 95% e interpretação

# Dados fornecidos
scores <- c(661, 595, 548, 730, 791, 678, 672, 491, 492, 583, 762, 624, 769, 729, 734, 706)

# Tamanho da amostra
n <- length(scores)

# Média e desvio padrão amostral
media <- mean(scores)
s <- sd(scores)

# Nível de confiança
conf <- 0.95
alpha <- 1 - conf

# Valor crítico t para 95% e n-1 graus de liberdade
t_critico <- qt(1 - alpha/2, df = n - 1)

# Erro padrão da média
erro_padrao <- s / sqrt(n)

# Margem de erro
margem_erro <- t_critico * erro_padrao

# Intervalo de confiança
lim_inferior <- media - margem_erro
lim_superior <- media + margem_erro

cat(sprintf("Media amostral: %.2f\n", media))

## Media amostral: 660.31

cat(sprintf("Intervalo de Confianca 95%% para a media do score: [%.2f, %.2f]\n", lim_inferior, lim_superior))

## Intervalo de Confianca 95% para a media do score: [609.21, 711.41]

Interpretação:

Com 95% de confiança, o verdadeiro valor da média do score de crédito dos consumidores está dentro do intervalo calculado. Isso significa que se repetíssemos o processo de amostragem várias vezes, aproximadamente 95% dos intervalos construídos conteriam a média real da população. Isso indica o comportamento médio esperado dos scores para os pretendentes a empréstimo para compra de carros.

library(ggplot2)

df <- data.frame(score = c(661, 595, 548, 730, 791, 678, 672, 491, 492, 583, 762, 624, 769, 729, 734, 706))

p <- ggplot(df, aes(x = score)) +
  geom_histogram(binwidth = 40, fill = "steelblue", color = "black", alpha = 0.7) +
  labs(title = "Distribuição dos Scores de Crédito",
       x = "Score de Crédito",
       y = "Frequência") +
  theme_minimal()

Instalar pacote library.packages(“plotly”) para ver iteratividade do gráfico, por favor.

library(plotly)

## 
## Anexando pacote: 'plotly'

## O seguinte objeto é mascarado por 'package:ggplot2':
## 
##     last_plot

## O seguinte objeto é mascarado por 'package:stats':
## 
##     filter

## O seguinte objeto é mascarado por 'package:graphics':
## 
##     layout

ggplotly(p)

Exercícico 7

3 Análise do IMC

Segue a resolução detalhada para a análise do IMC, considerando que a variável tem distribuição normal e que o desvio padrão populacional é desconhecido (situação comum). Usaremos o intervalo de confiança para a média baseado na distribuição t de Student.

Análise da amostra de IMC a. Parâmetro que estamos estimando.

A média populacional do IMC, denotada por μμ.

b.Intervalo de confiança (fórmula) a ser utilizado

Como o desvio padrão populacional é desconhecido, o intervalo de confiança para a média com nível de confiança 1−α1−α é dado por:

xˉ±tn−1,1−α/2×snxˉ±tn−1,1−α/2×ns

onde:

xˉxˉ = média amostral

ss = desvio padrão amostral

nn = tamanho da amostra

tn−1,1−α/2tn−1,1−α/2 = valor crítico da distribuição t de Student com n−1n−1 graus de liberdade

Suposições necessárias

Amostra aleatória e independente.

A variável IMC segue distribuição aproximadamente normal (conforme informado).

Desvio padrão populacional desconhecido, por isso usa-se o desvio padrão amostral e distribuição t.

Cálculo do intervalo de confiança de 95% e interpretação

# Dados da amostra de IMC
imc <- c(19.6, 23.8, 19.6, 29.1, 25.2, 21.4, 22, 27.5, 33.5, 20.6, 29.9, 17.7, 24, 28.9,
         37.7, 18.3, 19.8, 29.8, 29.7, 31.7, 23.8, 44.9, 19.2, 28.7, 28.5, 19.3, 31, 25.1,
         22.8, 30.9, 26.5, 21.2, 40.6, 21.9, 26, 23.5, 22.8, 20.7, 20.5, 21.9)

n <- length(imc)
media <- mean(imc)
s <- sd(imc)
conf <- 0.95
alpha <- 1 - conf

# Valor crítico t para 95% de confiança e n-1 graus de liberdade
t_critico <- qt(1 - alpha/2, df = n - 1)

# Erro padrão da média
erro_padrao <- s / sqrt(n)

# Margem de erro
margem_erro <- t_critico * erro_padrao

# Limites do intervalo de confiança
lim_inferior <- media - margem_erro
lim_superior <- media + margem_erro

cat(sprintf("Média amostral do IMC: %.2f\n", media))

## Média amostral do IMC: 25.74

cat(sprintf("Intervalo de Confianca 95%% para a media do IMC: [%.2f, %.2f]\n", lim_inferior, lim_superior))

## Intervalo de Confianca 95% para a media do IMC: [23.77, 27.71]

Interpretação: Com 95% de confiança, o verdadeiro valor da média do IMC da população está contido dentro do intervalo calculado. Isso significa que, se repetíssemos o processo de amostragem diversas vezes, aproximadamente 95% dos intervalos construídos conteriam a média real do IMC.

Exercício 7

4 Estimativa do tempo médio de reação.

Estimativa do tempo médio de reação a. Parâmetro que estamos estimando

A média populacional do tempo de reação, denotada por μμ.

Intervalo de confiança (fórmula) a ser utilizado

Como o desvio padrão populacional σσ é conhecido, e a amostra tem tamanho n=20n=20, o intervalo de confiança para a média com nível de confiança 1−α1−α é dado por:

xˉ±z1−α/2×σnxˉ±z1−α/2×nσ

onde:

xˉxˉ é a média amostral

z1−α/2z1−α/2 é o valor crítico da distribuição normal padrão

σσ é o desvio padrão populacional

nn é o tamanho da amostra

c.Suposições necessárias

A amostra é aleatória e independente.

O tempo de reação segue uma distribuição normal.

O desvio padrão populacional é conhecido.

# Dados da amostra
tempos <- c(2.9, 3.4, 3.5, 4.1, 4.6, 4.7, 4.5, 3.8, 5.3, 4.9,
            4.8, 5.7, 5.8, 5.0, 3.4, 5.9, 6.3, 4.6, 5.5, 6.2)

n <- length(tempos)
media <- mean(tempos)
sigma <- 2  # desvio padrão populacional conhecido
conf <- 0.95
alpha <- 1 - conf

# Valor crítico z para 95% de confiança
z_critico <- qnorm(1 - alpha/2)

# Erro padrão da média
erro_padrao <- sigma / sqrt(n)

# Margem de erro
margem_erro <- z_critico * erro_padrao

# Limites do intervalo de confiança
lim_inferior <- media - margem_erro
lim_superior <- media + margem_erro

cat(sprintf("Média amostral do tempo de reação: %.2f minutos\n", media))

## Média amostral do tempo de reação: 4.75 minutos

cat(sprintf("Intervalo de Confiança 95%% para a média do tempo de reação: [%.2f, %.2f] minutos\n", lim_inferior, lim_superior))

## Intervalo de Confiança 95% para a média do tempo de reação: [3.87, 5.62] minutos

Interpretação:

Com 95% de confiança, o verdadeiro tempo médio de reação dos pacientes ao novo medicamento está dentro do intervalo calculado. Isso significa que, se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes, aproximadamente 95% dos intervalos construídos conteriam o valor real da média populacional.

Pelo resultado temos: Intervalo de Confiança 95% para a média do tempo de reação: [3.87, a 5.62] minutos.

Gráfico -testes- Dados do tempo de reação:

# Instalar e carregar o pacote ggplot2, se necessário
# install.packages("ggplot2")
library(ggplot2)

# Dados do tempo de reação
tempos <- c(2.9, 3.4, 3.5, 4.1, 4.6, 4.7, 4.5, 3.8, 5.3, 4.9,
            4.8, 5.7, 5.8, 5.0, 3.4, 5.9, 6.3, 4.6, 5.5, 6.2)

# Criar um data frame para ggplot2
df <- data.frame(tempo = tempos)

# Calcular a média amostral
media_tempo <- mean(df$tempo)

# Criar o histograma com linha da média
ggplot(df, aes(x = tempo)) +
  geom_histogram(binwidth = 0.5, fill = "skyblue", color = "black", alpha = 0.7) +
  geom_vline(aes(xintercept = media_tempo), color = "red", linetype = "dashed", size = 1) +
  labs(title = "Análise do Tempo Médio de Reação ao Medicamento",
       x = "Tempo de Reação (minutos)",
       y = "Frequência") +
  theme_minimal()

## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

Estatística para Ciência de Dados | Lista de Exercício 02 - Propriedades dos Estimadores e Intervalos de Confiança 20251606 [Professora: Ana Carolina Fernandes Dias]

Fabiano Antunes

2025-06-16

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Construção de Intervalos de Confiança para Proporções

Exercício 1

Use as suas próprias palavras para responder às questões a seguir: (3 pts)

Explicação:

Exercício 2

Um departamento de recursos humanos de uma empresa deseja estimar a

Explicação:

Exercício 3

Descreva a diferença entre os métodos de estimação: Momentos e máxima

Explicação:

Exercício 4

Qual o estimador de máxima verossimilhança e de momentos para a distribuição Poisson?.

Explicação:

O estimador de máxima verossimilhança (EMV) para o parâmetro λλ da distribuição de Poisson é a média amostral dos dados observados. Ou seja, o EMV de λλ é dado por:

λEMV=Xˉ=1n∑i=1nXiλEMV=Xˉ=n1i=1∑nXi

Esse resultado decorre do fato de que a função de verossimilhança da Poisson, ao ser maximizada, leva à média amostral como melhor estimativa para λλ125.

De forma semelhante, o estimador pelo método dos momentos para λλ na distribuição de Poisson também é a média amostral, pois o primeiro momento teórico da Poisson é igual a λλ, e o método dos momentos consiste em igualar o momento amostral ao momento teórico para obter a estimativa12.

Portanto, para a distribuição de Poisson, ambos os métodos — máxima verossimilhança e momentos — fornecem o mesmo estimador: a média amostral.

Exercício 5

Qual a diferença entre uma estimativa pontual e uma estimativa intervalar?

Explicação:

Exercício 6

Dados fornecidos

Função para calcular intervalo de confiança

Cálculo dos intervalos de confiança e amplitudes

Explicação:

Quanto maior o nível de confiança, maior é o valor crítico z, o que aumenta a margem de erro e, consequentemente, a amplitude do intervalo. Isso ocorre porque para termos mais certeza de que o intervalo contém o parâmetro, precisamos considerar uma faixa maior de valores possíveis.

Calculando e exibindo os intervalos e amplitudes

Exercicio 7

1 proporção populacional pp de dias violentos

Interpretação:

Com 95% de confiança, o verdadeiro valor da proporção de dias violentos no bairro está entre os limites calculados. Isso significa que, se repetíssemos esse processo muitas vezes, aproximadamente 95% dos intervalos construídos conteriam a verdadeira proporção populacional.

Exercicio 7

2 Problema: Estimativa do comportamento médio dos scores de crédito a. Parâmetro que estamos estimando

Interpretação:

Instalar pacote library.packages(“plotly”) para ver iteratividade do gráfico, por favor.

Exercícico 7

3 Análise do IMC

Interpretação: Com 95% de confiança, o verdadeiro valor da média do IMC da população está contido dentro do intervalo calculado. Isso significa que, se repetíssemos o processo de amostragem diversas vezes, aproximadamente 95% dos intervalos construídos conteriam a média real do IMC.

Exercício 7

4 Estimativa do tempo médio de reação.

Interpretação:

Pelo resultado temos: Intervalo de Confiança 95% para a média do tempo de reação: [3.87, a 5.62] minutos.

Gráfico -testes- Dados do tempo de reação:

λ^{EMV=Xˉ=1n∑i=1nXiλ}EMV=Xˉ=n1i=1∑nXi